O efeito borboleta

O efeito borboleta pode ser enunciado da seguinte forma: "O adejo de uma borboleta em Hong Kong provoca uma pequena perturbação na atmosfera que, com o tempo, vai se incrementando aos poucos e depois de uma semana, a perturbação cresceu tanto que pode provocar mudanças muito relevantes: por exemplo, um furacão que nem pensava em se formar, termina por arrasar uma cidade no golfo de México.

Isto, por suposto, é uma parábola. Não é necessário exterminar todos os insetos alados da face da Terra para evitar a proliferação de tempestades violentas. É uma alegoria que exemplifica o fato que, em alguns sistemas muito complexos, uma variação minúscula das condições iniciais vai se incrementando até produzir resultados qualitativamente maiores e diferentes.

Esta sensibilidade extrema das condições iniciais é algo que não estamos acostumados. Por exemplo, se pegamos um canhão e realizamos dois disparos com praticamente a mesma velocidade e inclinação, esperamos que o ponto de impacto seja praticamente o mesmo. Sabemos que é muito difícil que impactem exatamente no mesmo lugar, é quase impossível que a velocidade e o ângulo sejam exatamente idênticos. Mas sim esperamos que os impactos sejam muito próximos entre si.

Isto é porque o lançamento de projéteis é um sistema simples, determinista. Em um sistema complexo pode ocorrer o que prega o efeito borboleta, que uma pequena variação se veja amplificada com o passar do tempo. No fundo, isto significa que os sistemas complexos são, na prática, imprevisíveis, já que é impossível conhecer o estado inicial com precisão absoluta.Qualquer erro experimental é incrementado, adulterando por completo a predição.

O enunciado do efeito borboleta tem sua base nas investigações do meteorologista estadunidense Edward Lorenz no final dos anos 60. Em perspectiva histórica, aqueles anos foram apaixonantes para a ciência, já que contávamos com um novo avanço que revolucionou a pesquisa científica para sempre: os computadores que, ainda que posteriormente se estenderam à sociedade, revolucionando-a por completo, inicialmente foram desenvolvidos para ajudar os físicos a fazerem seus calculinhos.

Lorenz era um sonhador, e como muitos físicos almejava descobrir uma fórmula que explicasse tudo. No seu caso, pelo menos, que descrevesse e predissesse por completo o comportamento da atmosfera, já que era meteorologista. Com esse nobre propósito, desenvolveu um modelo matemático, que podia utilizar para realizar os cálculos necessários.

No entanto, seu sistema de equações era matematicamente muito complicado, não era possível resolvê-lo na mão. Tão somente podia fazer aproximações numéricas. Até o aparecimento das calculadoras automáticas, as pessoas estavam limitadas ao que podiam calcular com papel, caneta e taboada, que não era muito.

Mas para Lorenz isso já não era necessário. Colocou suas equações em um dos modernos computadores da época e dedicou-se a fazer simulações indicando ao computador o estado inicial da atmosfera.

Em um certo dia, Edward decidiu repetir uma das simulações, mas como estava um pouco cansado, em vez de introduzir todos os decimais na máquina fez um pequeno arredondamento. Por exemplo, em vez de pôr 1,0396, simplesmente escreveu 1,04 afinal uma diferença tão pequena não deveria fazer diferença.

Para sua surpresa, os resultados obtidos foram completamente diferentes. Desta forma descobriu que uma pequena diferença no estado inicial de suas equações ocasionava mudanças drásticas no resultado. Imaginou então que essa pequena diferença podia ser ocasionada por algo tão insignificante como um inseto, e daí o nome efeito borboleta.

É possível repetir a experiência de Lorenz com um cálculo matemático muito simples. Se pegarmos o valor inicial indicado anteriormente como exemplo, 1,0396, e o elevamos ao quadrado. Obtemos 1,0807. Voltamos a elevar este novo valor ao quadrado. E assim, sucessivamente.

Depois, repetimos o mesmo processo com o valor aproximado, 1,04. Podemos ver o resultado na tabela à direita. Inicialmente, a diferença é muito pequena, de 0.04%. No entanto, depois de cada iteração, a diferença incrementa-se. Depois de apenas dez iterações, o valor aproximado é praticamente o dobro que o valor exato, com um erro de 48%.

Três iterações mais tarde, o valor aproximado é 22 vezes maior que o exato. Isto é, com apenas 13 iterações de elevação ao quadrado, o erro inicial passou de 0,04% a 2236%. E isto somente por arredondar um triste decimal.