O paradoxo do aniversário

Imagina que você está em uma festa, rodeado de uma ou duas dúzias de amigos. Qual é a probabilidade de que um par deles faça aniversário no mesmo dia? Ainda que pareça incrível, é possível demonstrar matematicamente que se o número de convidados for de 23 pessoas, a probabilidade supera os 50%. E se houver mais de 60 convidados, pode apostar que dois deles aniversariam no mesmo dia com 99% de possibilidades de acerto.

O Paradoxo do aniversário estabelece que se existem 23 pessoas em uma reunião, a probabilidade de que ao menos duas delas aniversariam no mesmo dia é de 50,7%. A percentagem parece meio alta pois poderíamos raciocinar que 23/365*100 = 6,3%. Crasso erro! Na realidade estamos calculando qual é a probabilidade de que algum dos presentes aniversarie em um dia em particular, algo que nada tem a ver com o problema. Para calcular realmente a probabilidade de que duas pessoas do grupo façam aniversário no mesmo dia, é necessário considerar os pares e não só uma pessoa. Vejamos como é a forma correta de fazer isto.

Suponhamos então que em nossa festa se encontram as 23 pessoas que podem formar 23 x 22 = 253 pares diferentes entre elas. Começamos calculando primeiro a probabilidade de que "n" aniversários sejam diferentes. Esta probabilidade é dada pela seguinte equação:

O que representam essa série de frações é o fato de que a segunda pessoa não pode ter o mesmo aniversário que o primeiro (364/365), a terceira pessoa não pode ter o mesmo aniversário que as duas primeiras (363/365), e assim sucessivamente. Podemos simplificar muito essa fórmula se utilizamos os chamados números fatoriais que se aplicados na equação anterior permitem escrever uma nova equação da seguinte maneira:

Na qual "p" é a probabilidade de que duas pessoas não façam aniversário no mesmo dia. Para encontrar o resultado que estamos buscando -a probabilidade que ao menos duas pessoas aniversariem na mesma data- devemos fazer 1-p. Se achar que a equação é muito complicada para ser revolvida, adianto o resultado. Para n = 23 obtém-se um valor de 0,507, uma probabilidade ao redor de 50,7%.

Da próxima vez que estiver em uma uma festa na qual tenham outros 20 ou 30 convidados, verifique se dois deles aniversariam no mesmo dia. Se forem mais de 50, você pode até pegar o microfone e fazer uma aposta com uma grande probabilidade de ganhar e voltar para casa com a garota mais bonita da festa. E se perder, pode passar o tempo calculando as remotas possibilidades de que uma catástrofe assim ocorresse.