Quais são as reais origens da palavra 'América'?

Os comediantes britânicos Jay Foreman e Mark Cooper-Jones do canal do Youtube Map Men investigaram com humor as origens da palavra "América", como a palavra surgiu, como os primeiros mapas retratavam a América, como ela se tornou sinônimo de Estados Unidos e por que muitos ao redor do mundo discordam do uso dessa palavra para descrever apenas os EUA. Apesar do tema ser tratado (bem) por dois comediantes, o tema é complexo e irrita muita gente, inclusive aqueles que acham que não faz nenhum sentido chamar os "americanos" de "estadunidenses". Os próprios americanos não gostam.

Mas por outro lado, desde a Terra do Fogo até o Alasca, todos são americanos também. As nações têm um nome histórico, normalmente único que lhes diferencia do resto do mundo, e por outra parte têm seu nome "oficial" ou "administrativo", por chamar de algum modo: República Federal Alemã, Federação Russa, Reino da Espanha, República Popular da China, etc. Como é natural, seus gentílicos são alemães, russos, espanhóis ou chineses, porque o restante é só definição administrativas.

Então, como é que a América se autodenomina "América"? Escrever a palavra latina "América" na América Latina significa que a América deve circunscrever a América Latina, certo? A confusão toda começou em 1776, quando as 13 colônias que eram conhecidas como "América Britânica" decidiram cunhá-la "Estados Unidos da América". Com o tempo, o longo nome foi encurtado para apenas "América", que é como o mundo de língua inglesa se refere quase exclusivamente aos Estados Unidos hoje.

De fato, os Estados Unidos da América quase se chamou "Columbia" em reconhecimento ao descobridor, mas ao final desistiram. Por que não procuraram ou tentaram procurar uma denominação característica dessas terras concretas, ou ao menos de parte delas? Coisa para inglês ver.