Quantas vezes você tem que embaralhar as cartas para que elas se misturem corretamente?

A resposta rápida é que depende da forma como você embaralha o jogo de cartas. Em 1955, um relatório técnico escrito por um matemático dos Laboratórios Bell, Edgar Gilbert, delineou o primeiro modelo matemático de como as cartas deveriam ser embaralhadas para serem misturadas aleatoriamente. Segundo Edgar, um baralho de cartas contém uma quantidade de informações quantificáveis. Existem 1068 arranjos possíveis diferentes para um baralho de 52 cartas, portanto, não é prático investigar a probabilidade de cada um usar cada método de embaralhamento.

A forma mais comum de embaralharmos um jogo de cartas é cortar o baralho em duas pilhas aproximadamente iguais, pegar cada uma delas em uma mão e soltar as cartas com os polegares de baixo das duas pilhas alternadamente, entrelaçando-os. É o que se conhece como mix americano.

Vamos imaginar que embaralhamos 8 cartas ordenadas de ás a 8 de espadas. As cartas não estarão mais em ordem, mas ainda poderemos distinguir as duas sequências originais. O embaralhamento americano entrelaça as duas sequências, mas não reorganiza as cartas dentro de cada sequência. Ás sempre precede dois, dois sempre precede três, três, três sempre precede quatro e assim por diante.

Ao embaralhar apenas uma vez, o número das chamadas "sequências crescentes" é duplicado. São sequências que estão sempre aumentando. Embaralhar uma vez produz uma combinação de pelo menos duas sequências crescentes, e cada vez que as cartas são embaralhadas novamente, no máximo esse número é duplicado.

Se você embaralhar duas vezes, por exemplo, a combinação resultante conterá no máximo quatro sequências crescentes. Depois de embaralhar três vezes, você obtém no máximo oito e assim por diante. Nem sempre dobra, porque algumas se perdem aleatoriamente ao longo do caminho, mas você nunca pode acabar com mais do que o dobro de sequências de crescimento do momento anterior.

Este é sempre o caso, independentemente do número de cartas que você usa, sejam oito ou oito milhões. Como resultado, o número de sequências crescentes existentes é como um barômetro que indica o nível de meticulosidade com que um baralho foi embaralhado.

O número de vezes que as cartas tiveram que ser embaralhadas para que uma ordem verdadeiramente aleatória ocorresse era desconhecido até que Persi Diaconis, um matemático da Universidade de Stanford, especializado em coincidências (e ex-mágico), o investigou . Usando teorias de análise estatística e de probabilidade, Persi transformou o conceito original dos Laboratórios Bell em um novo modelo que foi testado por meio de simulações de computador que embaralharam jogos de cartas virtuais bilhões de vezes e depois analisaram os resultados

No vídeo que ilustra este artigo, Persi explica quantas vezes você precisa embaralhar usando três métodos comuns e a matemática por trás dos números que ele fornece.
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O resultado foi que embaralhar um jogo de cartas exige convenientemente uma média de sete embaralhamentos americanos ou em "ponte" (primeira foto). Muito mais do que se suspeitava até então. Se você embaralhar um jogo de cartas e pedir a um amigo para adivinhar qual será a primeira carta que você virar, a chance dele de acertar é de 1/52, já que existem 52 cartas possíveis. Se você fizer o mesmo com a segunda carta, as chances dele aumentam: 1/51. Se ele tiver uma memória muito boa, o número de cartas que seu amigo poderá acertar é cerca de 4,5 no baralho.

Assim sete embaralhamentos misturam adequadamente o baralho porque menos embaralhamentos levam a uma melhor chance de adivinhar mais cartas corretamente, mas mais embaralhamentos não altera a probabilidade.

Seu segundo método, e menos eficaz, é o embaralhamento "overhand", utilizado por muitas pessoas, onde pequenas pilhas de cartas são jogadas de uma pilha para outra. Este método deve ser repetido dez mil vezes para embaralhar as cartas adequadamente!

O terceiro método sobre o qual ele fala é chamado de "pilha, muito utilizado por tiazonas que espalham todas as cartas na sua frente e ficam arrastando as cartas de um lado para o outro. Embora isso seja determinístico e não randomize as cartas, garante que as carta que estavam próximos uma da outra agora sejam separadas. Algumas variações do embaralhamento de pilha tentam torná-lo ligeiramente aleatório, distribuindo as pilhas em uma ordem aleatória. É necessário fazer isso por 30 segundos a um minuto.

Antes da Edgar e Persi publicarem os seus resultados, a norma na indústria internacional de cassinos era embaralhar três ou quatro vezes antes de iniciar o jogo, mesmo para apostas altas. Ninguém jamais duvidou que isso fosse apropriado. Mas com o seu trabalho, os dois matemáticos descobriram uma enorme falha de segurança nos cassinos. Edgar demonstrou que era possível vencer o dealer legalmente, explorando uma persistente falta de aleatoriedade nas cartas, resultado de raramente ter embaralhado.